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Développement de méthodes particulaires pour la résolution des écoulements à surface libre

Ata, Riadh (2007). Développement de méthodes particulaires pour la résolution des écoulements à surface libre. Thèse de doctorat électronique, Montréal, École de technologie supérieure.

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Résumé

Ce travail vise à développer des approches particulaires dans le but de simuler les écoulements à surface libre. Celles-ci s'inspirent des méthodes sans maillages, méthodes apparues durant ces deux dernières décennies, et présentant des avantages par rapport aux approches numériques standards. La première partie de la thèse est consacrée à présenter cette famille de méthodes, dont quelques unes des plus connues sont détaillées. Les principaux avantages de ces méthodes ainsi que les plus importants défis à leur encontre seront énumérés.

Par la suite, la méthode SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) est utilisée pour simuler les écoulements à surface libre en utilisant le système de Saint-Venant homogène. Une étude mathématique variationnelle révèle que cette méthode aboutit à une formulation symétrique et donc numériquement instable. Le schéma obtenu est stabilisé par un décentrage (upwinding) qui consiste à introduire une viscosité artificielle. L'expression de cette viscosité est obtenue par une analogie avec les solveurs de Riemann. Cette technique de stabilisation conduit à des résultats probants oii les chocs sont bien captés. Toutefois, un effet de lissage est observé au niveau des discontinuités probablement dû à l'absence de technique de type MUSCL dans le décentrage introduit. La méthode SPH, comme la majorité des méthodes sans mailiage, possède une fonction de forme non-interpolante rendant
difficile l'imposition des conditions aux limites. Ce problème est surmonté en adoptant une interpolation de type élément naturel. Une nouvelle méthode de type volumes finis a été présentée : Méthode des Volumes Naturels : MVN. Cette méthode s'inspire de l'application de la méthode des éléments naturels en formulation Lagrangienne particulaire. Les flux sont évalués sur les cellules de Voronoï en utilisant la méthode des éléments naturels.

Le schéma obtenu est un schéma centré donc instable. La même procédure de stabilisation adoptée pour la méthode SPH a été appliquée pour la MVN. La MVN montre les mêmes avantages que la méthode SPH lorsqu'elle est appliquée en formulation Lagrangienne. De plus, le caractère interpolant de la fonction de forme de type éléments naturels, permet aisément d'imposer des conditions aux frontières de type Dirichlet. L'application de la MVN dans le cas des équations de Saint-Venant homogènes et ensuite non-homogènes (avec termes source) montre un bon potentiel de cette nouvelle
méthode. Le terme source de type géométrique disparaît dans la formulation de type MVN
Lagrangienne et les cas avec bathymétrie variable sont traités exactement comme les cas à bathymétrie nulle. Ainsi la profondeur d'eau est remplacée par le niveau de la surface libre. Le schéma obtenu vérifie la z-propriété et la C-propriété.

Titre traduit

Development of particle methods for the resolution of free surface flows

Résumé traduit

This work aims to develop new approches of particulaire type in order to simulate free surface flows. These approaches are inspired from the meshfree methods which are a family of methods that appeared in the last two decades and which reveals some advantages compared to standard numerical methods. The first part of this report deals with the family of meshfree methods. An exhaustive presentation of such methods is achieved and some of them are detailed. The main advantages and principal challenges of these methods are listed and discussed.

In the next part, the SPH method (smoothed Particle Hydrodynamics) is used to simulate some inviscid free surface flows using the Saint Venant equations (or shallow water equations) without source terms. The mathematical study fulfilled in this chapter shows that the classic scheme of the SPH method can be obtained using a variationnal formulation and by the mass-matrix lumping. The final scheme is a centered one and a stabilization technique is necessary. The upwinding of the final scheme is achieved by introducing an artificial viscosity obtained by an analogy with Riemann solvers. The stabilisation leads to accurate results and oscillations in the vicinity of the solution discontinuities are damped. The shocks are well captured, however a slight diffusive effect is observed which is probably caused by the absence of MUSCL-type technique in the new artificial viscosity that we introduced in the scheme. The SPH method, as well as the majority of meshfree techniques, suffers from the hardness of the imposition of boundary conditions, due to the non-interpolant character of its shape function. This problem is discussed and solved with natural elements-type interpolation method.

A natural elements particle technique is introduced and applied to shallow water equations. We describe this technique as The natural volumes method (NVM) by analogy with the finite volume method. In fact, the NVM consists on a flux computation over Voronoï cells using the natural element interpolation. A Lagrangian particulaire implementation of the NVM is achieved in the case of shallow water equations in presence or not of source terms. The obtained scheme is, as in the case of SPH method, a centered one. Therefore, the same stabilisation technique is adapted for the NVM and an artificial viscosity is introduced to upwind this scheme. This technique gives suitable results where shocks are well captured. Furthermore, the NVM presents the easiness of imposing Dirichlet boundary conditions, which is an important advantage compared to other meshfree techniques.

The last part of this work deals with the introduction of source terms. Only the geometrical term is taken into consideration. The bathymetry of the channel is, consequently, introduced in the formulation and a similar scheme, as in the case of the flat bottom, is obtained. The water depth is replaced by the water level. The obtained scheme keeps the same shape and the same mathematical characteristics as the one of the flat bottom case. The scheme is found to verify both the z-property and the C-property. Some benchmark tests are presented in the end of this chapter.

Type de document: Mémoire ou thèse (Thèse de doctorat électronique)
Renseignements supplémentaires: "Thèse présentée à l'École de technologie supérieure comme exigence partielle à l'obtention du doctorat en génie" Bibliogr. : f. [168]-179.
Mots-clés libres: ECOULEMENT, ELEMENT, LIBRE, MAILLAGE, METHODE, MVN, NATUREL, NEM, PARTICULAIRE, SOURCE, SPH, SURFACE, RESOLUTION, SANS, SIMULATION, TERME, VOLUME
Directeur de mémoire/thèse:
Directeur de thèse
Soulaïmani, Azzeddine
Co-directeurs de mémoire/thèse:
Co-directeurs de thèse
Chinesta, Francisco
Programme: Doctorat en génie > Génie
Date de dépôt: 02 août 2010 13:14
Dernière modification: 04 nov. 2016 23:39
URI: http://espace.etsmtl.ca/id/eprint/1

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