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Modélisation numérique des écoulements à surface libre avec bancs couvrants-découvrants par les volumes finis et la décomposition orthogonale aux valeurs propres

Zokagoa, Jean-Marie (2011). Modélisation numérique des écoulements à surface libre avec bancs couvrants-découvrants par les volumes finis et la décomposition orthogonale aux valeurs propres. Thèse de doctorat électronique, Montréal, École de technologie supérieure.

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Résumé

Les inondations causées par les ruptures de barrages, les crues et les tsunamis sont d’une violence de plus en plus accrue et il importe de considérer avec plus d’attention les études relatives à la protection contre ce fléau. Les mesures préventives contre les inondations consistent généralement en des actions sur les cours d’eau à travers la canalisation des débits, en des aménagements tels que les digues de protection, les barrages écrêteurs de crues ou les canalisations d’évacuation. La mise en oeuvre de telles mesures de protection nécessite l’intervention de l’hydraulicien dans la modélisation et la prédiction de la dynamique des écoulements caractérisant les inondations.

L’objectif principal de cette thèse est de proposer un modèle numérique explicite de simulation des écoulements à surface libre en général et des inondations en particulier et de construire un modèle numérique d’ordre réduit subséquent pour des calculs accélérés. Cet objectif est atteint à travers la discrétisation des équations d’eaux peu profondes par les volumes finis et la réduction des équations discrétisées par projection de Galerkin sur des bases obtenues par la technique de décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD).

Le modèle numérique aux volumes finis est adapté à la simulation adéquate des bancs couvrants et découvrants qui représentent des phénomènes caractérisant les écoulements d’inondation. Leur prise en compte sur des bathymétries réelles fortement irrégulières est restée longtemps un défi. En effet les bancs couvrants et découvrants se manifestent par le mouvement des interfaces entre le mouillé et le sec. Ces zones de discontinuité où le niveau tend à s’annuler peuvent être internes (apparition d’îlots) ou externes et leur traitement est très souvent source d’instabilités numériques pouvant se traduire par une génération d’hauteurs d’eau négatives ou de vitesses irréalistes.

Dans cette étude, les équations de Saint-Venant sont considérées dans leur forme de base de sorte à éviter l’intégration du terme source de géométrie. Ce terme est obtenu dans la démarche courante par éclatement du terme englobant les forces de gravité (car ne respectant pas la forme divergente stricte) en un terme de pression et en un terme source de variation de la géométrie. Il est proposé une approximation locale du terme source de gravité de sorte à en obtenir une forme divergente permettant de l’inclure dans le flux d’interface. Un schéma de Lax-Friedrichs avec un terme de dissipation artificielle est utilisé pour le calcul des flux aux interfaces. Le calcul du flux est adapté selon la nature sèche ou mouillée de la cellule courante. La technique de correction locale de la surface libre est utilisée afin de palier la création d’un gradient de niveau d’eau au voisinage des zones sèches, phénomène responsable de flux non-physiques et d’instabilités numériques. Cette technique permet de conserver la condition du fluide au repos ou la C-property. En outre, les calculs symétriques aux interfaces assurent au modèle la conservation globale de la masse.

La construction d’un modèle d’ordre réduit de simulation des écoulements à surface libre répond à la nécessité d’accélération des calculs pour la prise en compte des incertitudes liées aux paramètres physiques utilisés. En effet, les paramètres tels que la bathymétrie, le débit, le coefficient de frottement régissant les écoulements réels ne peuvent être saisis avec précision du fait de leur variabilité naturelle. Dans une gestion efficace des risques d’inondation, des calculs répétitifs doivent prendre en compte les incertitudes sur ces paramètres physiques et ce à travers une analyse probabiliste. Cette démarche peut être très coûteuse en temps de calculs lorsqu’un modèle explicite avec plusieurs milliers de degrés de liberté est utilisé. Le modèle d’ordre réduit (ROM) proposé est basé essentiellement sur la réduction du schéma aux volumes finis à travers la projection de Galerkin des équations discrétisées. Les équations sont projetées sur un sous-espace engendré par des bases obtenues par la décomposition orthogonale aux valeurs propres des matrices des snapshots des variables d’intérêt. Les matrices des snapshots sont obtenues par stockage d’un certain nombre de solutions numériques du problème étudié durant le temps de simulation. Des approximations des termes non linéaires relatifs au flux de convection et de la vitesse d’onde sont effectuées pour la réalisation d’un modèle réduit effectif. Le coût des calculs avec le ROM dépend essentiellement de la dimension de la base réduite.

Le modèle aux volumes finis s’est montré précis et robuste à travers les tests de validation effectués notamment dans la simulation des bancs couvrants et découvrants sur une bathymétrie réelle complexe. Par ailleurs, les résultats obtenus du ROM sont assez proches des résultats issus du modèle aux volumes finis pour la phase de reproduction. Lors de la phase d’exploitation, l’analyse de sensibilité a montré que pour des perturbations raisonnables des conditions et paramètres initiaux (moins de 50% pour le niveau d’eau initial), le ROM simule de façon concluante chaque nouveau scénario. Les résultats restent satisfaisants et le temps de calcul très appréciable relativement au schéma volumes finis. Il ressort en définitive que le modèle d’ordre réduit ici proposé peut être d’une aide précieuse à l’ingénieur pour la simulation d’écoulements hypothétiques et éventuellement la définition de cartes d’inondation.

Résumé traduit

Flooding events caused by dam breaks, long rains and tsunamis have reached such violence that more critical preventive measures should be considered. Preventive measures against floods generally consist on flow managing and on facilities such as protective dykes, flood managing dams or pipes of evacuation. The implementation of such measures of protection requires the intervention of the hydraulic engineer in modeling and predicting the flow dynamics that characterize the floods.

The main objective of this thesis is to propose a numerical model for the simulation of free surface flows in general and floods specifically and to build a reduced-order model (ROM) that will allow significant accelerations in the calculations. This is achieved through the discretization of the shallow water equations based on the finite volume technique and the reduction of those equations by the Galerkin projection onto a subspace spanned by some bases through the proper orthogonal decomposition (POD) technique.

The proposed finite volume numerical model is well-adapted to the simulation of wetting and drying processes which commonly characterize flooding event. Dealing with wetting and drying processes on highly irregular real bathymetries has long been a challenge. Indeed, at a wet and dry interface, the water depth tends to zero and forms a discontinuity zone that may be internal (appearance of islets) or external. The treatment of this discontinuity problem is very often a source of numerical instabilities that can lead to the generation of negative water depths or some unrealistic velocities, especially for variable bathymetry.

In this study, the Saint-Venant equations are considered in their basic form in order to avoid the integration of the source term of geometry. This term is obtained currently by splitting the term that contains the forces of gravity (which does not respect the strict divergent form) in a term of pressure and a source term of the variation of the geometry. A local approximation of the source term of gravity is applied so as to obtain a divergent form to be included in the interface flux. A Lax-Friedrichs scheme with an artificial dissipation term is used to calculate the flux at the interfaces. The calculation of the flux is adapted to the wet or dry state of the calculated cell. The local free surface correction technique is used to circumvent the generation of a water level gradient in the vicinity of dry areas which is a phenomenon responsible for non-physical fluxes and numerical instabilities. This technique preserves the condition of the fluid at rest or the C-property. In addition, the symmetrical calculations at the interfaces ensure the global mass conservation overall the computational domain.

The construction of a reduced order model for the simulation of free surface flows answers the necessity of accelerating the calculations while handling the uncertainties involved in the physical parameters. Indeed, parameters such as the bathymetry, the inflow flux, the friction coefficient, that governs real flows cannot be defined precisely because of their natural variability. In effective flood risks managements, repetitive calculations have to take into account the uncertainties in these physical parameters and this, through a probabilistic analysis. This can be very time consuming when a high fidelity model with thousands of degrees of freedom is used. The reduced order model (ROM) proposed is based essentially on the reduction of the finite volume scheme through the Galerkin projection of the discretized equations. The equations are projected onto a subspace spanned by bases obtained from the proper orthogonal decomposition of the snapshots matrices of the variables of interest. The snapshots matrices are obtained by recording a number of numerical solutions of the considered problem during the simulation time. Approximations of the nonlinear terms related to the convection flux and the wave velocity are applied to derive an effective reduced order model. The CPU time with the ROM depends mainly on the size of the POD reduced bases.

The finite volume model proved accurate and robust through validation tests and mainly in the simulation of wetting and drying transitions on a real complex bathymetry. On the other hand, the results obtained from the ROM are quite close to those of the finite volumes model for the reproduction phase. During the operation phase, the sensitivity analysis showed that for reasonable perturbations on the initial conditions and the physical parameters (less than 50% for the initial free surface level), the ROM simulates with a quite good accuracy each new scenario. The speedups are very significant with respect to the finite volume scheme. It appears that the reduced order model proposed here can be of great help for the engineer in the simulation of hypothetical flows and possibly for the definition of flood maps.

Type de document: Mémoire ou thèse (Thèse de doctorat électronique)
Renseignements supplémentaires: "Thèse présentée à l'École de technologie supérieure comme exigence partielle à l'obtention du doctorat en génie. Bibliogr. : f. [188]-199.
Mots-clés libres: Écoulement (Hydrologie) Écoulement (Hydrologie) Modèles mathématiques. Méthodes de volumes finis. Décompositions orthogonales. Banc, Couvrant, Découvrant, Équation, Modèle, Onde, Ordre, Propagation, Propre, Réduit, Saint-venant, Valeur Écoulements d’eaux peu profondes; Décomposition orthogonale aux valeurs propres
Directeur de mémoire/thèse:
Directeur de mémoire/thèse
Soulaïmani, Azzeddine
Programme: Doctorat en génie > Génie
Date de dépôt: 14 mars 2012 14:05
Dernière modification: 02 mars 2017 01:50
URI: http://espace.etsmtl.ca/id/eprint/947

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