Développement de techniques de diagnostic non intrusif par tomographie optique

Dubot, Fabien (2015). Développement de techniques de diagnostic non intrusif par tomographie optique. Thèse de doctorat électronique, Montréal, École de technologie supérieure.

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Résumé

Que ce soit dans les domaines des procédés industriels ou de l’imagerie médicale, on a assisté ces deux dernières décennies à un développement croissant des techniques optiques de diagnostic. L’engouement pour ces méthodes repose principalement sur le fait qu’elles sont totalement non invasives, qu’elle utilisent des sources de rayonnement non nocives pour l’homme et l’environnement et qu’elles sont relativement peu coûteuses et faciles à mettre en oeuvre comparées aux autres techniques d’imagerie. Une de ces techniques est la Tomographie Optique Diffuse (TOD). Cette méthode d’imagerie tridimensionnelle consiste à caractériser les propriétés radiatives d’un Milieu Semi-Transparent (MST) à partir de mesures optiques dans le proche infrarouge obtenues à l’aide d’un ensemble de sources et détecteurs situés sur la frontière du domaine sondé. Elle repose notamment sur un modèle direct de propagation de la lumière dans le MST, fournissant les prédictions, et un algorithme de minimisation d’une fonction de coût intégrant les prédictions et les mesures, permettant la reconstruction des paramètres d’intérêt. Dans ce travail, le modèle direct est l’approximation diffuse de l’équation de transfert radiatif dans le régime fréquentiel tandis que les paramètres d’intérêt sont les distributions spatiales des coefficients d’absorption et de diffusion réduit.

Cette thèse est consacrée au développement d’une méthode inverse robuste pour la résolution du problème de TOD dans le domaine fréquentiel. Pour répondre à cet objectif, ce travail est structuré en trois parties qui constituent les principaux axes de la thèse.

Premièrement, une comparaison des algorithmes de Gauss-Newton amorti et de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) est proposée dans le cas bidimensionnel. Deux méthodes de régularisation sont combinées pour chacun des deux algorithmes, à savoir la réduction de la dimension de l’espace de contrôle basée sur le maillage et la régularisation par pénalisation de Tikhonov pour l’algorithme de Gauss-Newton amorti, et les régularisations basées sur le maillage et l’utilisation des gradients de Sobolev, uniformes ou spatialement dépendants, lors de l’extraction du gradient de la fonction coût, pour la méthode BFGS. Les résultats numériques indiquent que l’algorithme de BFGS surpasse celui de Gauss-Newton amorti en ce qui concerne la qualité des reconstructions obtenues, le temps de calcul ou encore la facilité de sélection du paramètre de régularisation.

Deuxièmement, une étude sur la quasi-indépendance du paramètre de pénalisation de Tikhonov optimal par rapport à la dimension de l’espace de contrôle dans les problèmes inverses d’estimation de fonctions spatialement dépendantes est menée. Cette étude fait suite à une observation réalisée lors de la première partie de ce travail où le paramètre de Tikhonov, déterminé par la méthode «L-curve », se trouve être indépendant de la dimension de l’espace de contrôle dans le cas sous-déterminé. Cette hypothèse est démontrée théoriquement puis vérifiée numériquement sur un problème inverse linéaire de conduction de la chaleur puis sur le problème inverse non-linéaire de TOD. La vérification numérique repose sur la détermination d’un paramètre de Tikhonov optimal, défini comme étant celui qui minimise les écarts entre les cibles et les reconstructions. La démonstration théorique repose sur le principe de Morozov (discrepancy principle) dans le cas linéaire, tandis qu’elle repose essentiellement sur l’hypothèse que les fonctions radiatives à reconstruire sont des variables aléatoires suivant une loi normale dans le cas non-linéaire. En conclusion, la thèse démontre que le paramètre de Tikhonov peut être déterminé en utilisant une paramétrisation des variables de contrôle associée à un maillage lâche afin de réduire les temps de calcul.

Troisièmement, une méthode inverse multi-échelle basée sur les ondelettes associée à l’algorithme de BFGS est développée. Cette méthode, qui s’appuie sur une reformulation du problème inverse original en une suite de sous-problèmes inverses de la plus grande échelle à la plus petite, à l’aide de la transformée en ondelettes, permet de faire face à la propriété de convergence locale de l’optimiseur et à la présence de nombreux minima locaux dans la fonction coût. Les résultats numériques montrent que la méthode proposée est plus stable vis-à-vis de l’estimation initiale des propriétés radiatives et fournit des reconstructions finales plus précises que l’algorithme de BFGS ordinaire tout en nécessitant des temps de calcul semblables.

Les résultats de ces travaux sont présentés dans cette thèse sous forme de quatre articles. Le premier article a été accepté dans l’International Journal of Thermal Sciences, le deuxième est accepté dans la revue Inverse Problems in Science and Engineering, le troisième est accepté dans le Journal of Computational and Applied Mathematics et le quatrième a été soumis au Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Dix autres articles ont été publiés dans des comptes-rendus de conférences avec comité de lecture. Ces articles sont disponibles en format pdf sur le site de la Chaire de recherche t3e (www.t3e.info).

Titre traduit

Development of non-invasive diagnostic techniques by optical tomography

Résumé traduit

Whether in the fields of industrial process or medical imaging, there has been an increasing development of optical diagnostic techniques over the past two decades. Enthusiasm for these methods mainly relies on the fact that they are non-intrusive, they use radiation sources safe to human and environment, and they are relatively inexpensive and easy to implement compared to other imaging techniques. One of these techniques is the Diffuse Optical Tomography (DOT). This three-dimensional imaging method consists in characterizing radiative properties of a participating medium from optical measurements in near-infrared provided by a set of sources and sensors located on the frontier of the probed medium. It is especially based on a forward model of light propagation in the participating medium, providing the predictions, and a minimization algorithm of a cost function which integrates the predictions and measurements, allowing the reconstruction of parameters of interest. In this work, the forward model is the diffuse approximation of the radiative transfer equation in the frequency domain while parameters of interest are the spatial distributions of absorption and reduced scattering coefficients.

The objective of the work presented in this thesis is the development of a robust inverse method for the solution of the DOT problem in the frequency domain. To meet this objective, this work is structured in three main parts.

First, a comparison between the damped Gauss-Newton and Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) algorithms is proposed in the two-dimensional case. Two regularization methods are combined for each of the two algorithms, namely the mesh-based reduction of the control space dimension and the Tikhonov penalization for the damped Gauss-Newton algorithm, and the regularizations respectively based on the mesh and the use of Sobolev gradients, uniform or spatially dependent, when extracting the cost function gradient, for the BFGS method. Numerical results indicate that the BFGS algorithm outperforms the damped Gauss-Newton algorithm in term of the quality of the obtained reconstructions, CPU time and the ease of selecting the regularization parameter.

Second, a study on the quasi-independence of the optimal Tikhonov penalization parameter with respect to the dimension of the control space in inverse problems of space-dependent function estimation is performed. This study follows an observation made in the first part of this work where the Tikhonov parameter, determined by the “L-curve” method, is found to be independent of the dimension of the control space in the under-determined case. This assumption is demonstrated theoretically and verified numerically on a linear inverse heat conduction problem then on the non-linear inverse problem of the DOT. The numerical verification is based on the determination of an optimal Tikhonov parameter, defined as the one which minimizes the misfit between the target and the reconstruction. The theoretical demonstration relies on the discrepancy principle in the linear case, while it mainly relies on the assumption that radiative functions to be reconstructed are normally distributed random variables in the non-linear case. In conclusion, this thesis demonstrates that the Tikhonov parameter can be determined using a control space parameterization associated with a coarse mesh in order to lower computational time.

Third, a wavelet multi-scale method associated with the BFGS algorithm is developed. This method, which relies on a reformulation of the original inverse problem into a sequence of sub-inverse problems of different scales using wavelet transform, from the largest scale to the smallest one, enables to cope with the local convergence property of the optimizer and the presence of numerous local minima in the cost function. Numerical results show that the proposed method is more stable with respect to the initial guess of the radiative properties and provides more accurate final reconstructions compared to the ordinary BFGS algorithm while requiring similar computational times.

The thesis is presented in the form of four articles. The first article is accepted in the International Journal of Thermal Sciences, the second is accepted in the journal Inverse Problems in Science and Engineering, the third is accepted in the Journal of Computational and Applied Mathematics and the fourth has been submitted in the Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Ten other articles have been published in conferences with reviewing committee. Pdf versions of these papers are available on the web site of the industrial research chair in technologies of energy and energy efficiency (t3e) (www.t3e.info).

Type de document:	Mémoire ou thèse (Thèse de doctorat électronique)
Renseignements supplémentaires:	"Thèse par articles présentée à l'École de technologie supérieure [et à] l'Université de Nantes comme exigence partielle à l'obtention du doctorat en génie cotutelle France-Québec". Bibliographie : pages 213-225.
Mots-clés libres:	Tomographie optique. Optimisation mathématique. Problème inverse de diffusion. Sobolev, Gradients de. Ondelettes. Imagerie pour le diagnostic. Diagnostics Méthodes non effractives. diffus, optique, transfert radiatif, optimisation, régularisation
Directeur de mémoire/thèse:	Directeur de mémoire/thèse Rousse, Daniel R.
Codirecteur:	Codirecteur Rousseau, Benoit Favennec, Yann
Programme:	Doctorat en génie > Génie
Date de dépôt:	23 oct. 2015 18:47
Dernière modification:	01 févr. 2016 19:55
URI:	https://espace.etsmtl.ca/id/eprint/1531

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