Réseaux de neurones informés par la physique pour la résolution d’équations de mécanique des fluides

Mullins, Mathieu (2025). Réseaux de neurones informés par la physique pour la résolution d’équations de mécanique des fluides. Mémoire de maîtrise électronique, Montréal, École de technologie supérieure.

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Résumé

Ce mémoire explore l’application des réseaux de neurones informés par la physique (PINNs) aux problèmes d’interface mobile via la méthode level set ainsi qu’aux écoulements à surface libre régis par les équations de Saint-Venant. Plus spécifiquement, nous mettons en avant les performances de l’architecture PirateNet, qui intègre des améliorations telles que l’apprentissage séquence-par-séquence, la factorisation aléatoire des poids, l’équilibrage des termes de la fonction de perte par la norme des gradients, l’entraînement causal et l’incorporation de caractéristiques de Fourier aléatoires.

Pour les problèmes d’interface mobile, le PINN amélioré a démontré une capacité supérieure à résoudre le disque de Zalesak et un cas complexe impliquant de fortes déformations, l’écoulement tourbillonnaire inversé, atteignant une erreur L2 = 0.81% pour ce dernier test. Contrairement aux méthodes numériques classiques, les PINNs peuvent capturer l’évolution de l’interface sans stabilisation numérique en amont ni réinitialisation géométrique. De plus, bien que l’ajout d’un terme de régularisation basé sur l’équation d’Eikonal puisse améliorer les résultats sous certaines conditions, il doit être soigneusement pondéré pour éviter des effets négatifs.

Concernant les équations de Saint-Venant, le PINN amélioré a surpassé le PINN classique en prédisant l’évolution de la surface libre, y compris en présence de bathymétrie variable et d’interférences entre vagues, atteignant une erreur L2 ℎ = 0.30% pour le cas de propagation d’une vague sur une digue en 1D tout en maintenant une perte de masse très faible et une excellente capture de la vitesse de propagation de l’onde. Cependant, bien que la hauteur d’eau puisse être bien prédite, les PINNs éprouvent des difficultés à modéliser précisément les champs de vitesses dans les régions présentant de forts gradients. L’utilisation de viscosité numérique permet de réduire l’erreur, mais entraîne un coût informatique supérieur, surtout en 2D.

Un constat important de cette étude est que, malgré leurs performances prometteuses, les PINNs demeurent significativement plus coûteux en calcul que les méthodes numériques classiques. Si la phase d’inférence est rapide, l’entraînement du modèle nécessite un temps considérable, rendant leur application limitée pour des problèmes directs d’équations différentielles partielles.

En résumé, ce mémoire démontre que le PINN amélioré avec les méthodes recensés constitue une avancée significative pour l’application des PINNs aux problèmes d’interface mobile et aux écoulements à surface libre. Bien que ces approches nécessitent encore des améliorations pour rivaliser pleinement avec les méthodes numériques traditionnelles, elles offrent une alternative intéressante pour des contextes où l’intégration de données réelles est possible.

Titre traduit

Physics-informed neural networks for solving continuum mechanics equations

Résumé traduit

This thesis explores the application of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) to moving interface problems using the level set method, as well as to free surface flows governed by the Shallow Water Equations (SWE). Specifically, we highlight the performance of the PirateNet architecture, which integrates improvements such as sequence-to-sequence training, random weight factorization, gradient-norm-based loss term balancing, causal training, and the incorporation of random Fourier features.

For moving interface problems, the enhanced PINN demonstrated superior capabilities in solving Zalesak’s disk and a complex case involving significant interface deformation, the time-reversed vortex flow, achieving an error of L2 = 0.81% in the latter. Unlike classical numerical methods, PINNs can capture interface evolution without the need for upwind numerical stabilization or geometric reinitialization. Furthermore, although the addition of an Eikonal-based regularization term may improve results under certain conditions, it must be carefully weighted to avoid adverse effects.

Regarding the Shallow Water Equations, the enhanced PINN outperformed the standard PINN by accurately predicting free surface evolution, including in the presence of variable bathymetry and interfering waves. An error of L2 ℎ = 0.30% was achieved for the 1D wave propagation over a hump test case, while maintaining very low mass loss and accurately capturing the wave speed. However, despite reliable height prediction, PINNs struggle to model velocity fields accurately in regions with strong gradients. Numerical viscosity can help reduce this error, but it significantly increases computational cost, especially in 2D.

A key finding of this study is that, despite their promising performance, PINNs remain substantially more computationally expensive than traditional numerical methods. While inference is fast, the initial model training requires significant time, limiting their practicality for direct PDE problems.

In summary, this thesis demonstrates that the enhanced PINN equipped with the discussed improvements represents a meaningful advancement in applying PINNs to moving interface problems and free surface flows. While further development is needed to fully match the precision of classical numerical methods, PINNs offer an appealing alternative in contexts where real data can be integrated to refine predictions and improve physical modeling.

Type de document:	Mémoire ou thèse (Mémoire de maîtrise électronique)
Renseignements supplémentaires:	"Mémoire présenté à l’École de technologie supérieure comme exigence partielle à l’obtention de la maîtrise avec mémoire en génie, énergies renouvelables et efficacité énergétique". Comprend des références bibliographiques (pages 111-120).
Mots-clés libres:	PINN, SWE, Saint-Venant, CFD, level set
Directeur de mémoire/thèse:	Directeur de mémoire/thèse Soulaïmani, Azzeddine
Programme:	Maîtrise en ingénierie > Génie
Date de dépôt:	05 juin 2025 18:41
Dernière modification:	05 juin 2025 18:41
URI:	https://espace.etsmtl.ca/id/eprint/3638

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