Physics-informed neural networks for modeling infiltration and solute transport in porous media

Kamil, Hamza (2026). Physics-informed neural networks for modeling infiltration and solute transport in porous media. Thèse de doctorat électronique, Montréal, École de technologie supérieure.

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Résumé

This thesis addresses forward and inverse modeling of water infiltration and solute transport in porous media by developing efficient physics-constrained computational numerical models. For the mathematical description of water infiltration, two formulations are considered: the standard Richards equation, which predicts stable and monotonic wetting fronts, and the extended BCJ–R equation, which accounts for unstable infiltration phenomena such as saturation overshoot and gravity-driven fingered flow. To model solute transport, the infiltration models are coupled with advection– dispersion–reaction equations that capture the dynamics of single- and multispecies solute transport. The transport framework incorporates biogeochemical processes including first-order decay of nitrogen compounds through nitrification and denitrification, reversible adsorption of solutes onto soil particles, and transformation pathways such as volatilization, mineralization, and microbial degradation.

In the first part of this thesis, a numerical model based on a semi-implicit secondorder mixed finite element method is developed to simulate coupled water flow and solute transport in unsaturated porous media. Water infiltration is considered under a stable front regime using the Richards equation, which is coupled with an advection– dispersion–reaction system to represent fertilizer transport. The developed numerical model avoids nonlinear iterative solvers for the Richards equation, thereby mitigating convergence issues associated with highly nonlinear soil capillary models. Numerical experiments are conducted to solve the coupled system under scenarios including single- and multi-species nitrogen transport, pore-water electrical conductivity, and nitrate migration. Validation against analytical solutions, established numerical codes, and experimental datasets confirms the model’s accuracy in reproducing water infiltration dynamics and solute transport processes. This high-fidelity solver serves both as a benchmark and as a data source for the physics-informed machine learning models developed in subsequent chapters.

In the second part, a physics-informed neural network (PINN) is developed for forward modeling of coupled water flow and solute transport. The model requires only the initial and boundary conditions, while the governing equations are embedded directly into the training process. The PINN’s performance is evaluated against the high-fidelity finite element solver from the first part, showing good agreement and confirming the potential of PINNs for forward modeling of water–solute transport in porous media.

In the third part, the objective is to identify the most effective PINN strategy for modeling water infiltration and single- and multispecies solute transport in porous media. A comprehensive comparative study of different PINN formulations is conducted, evaluating their performance in forward simulations of coupled flow–transport processes as well as in inverse problems for estimating unknown model parameters. Among the approaches examined, the sequential PINN strategy, where the governing equations for water flow and solute transport are trained separately, emerges as the most effective. Its superiority is demonstrated through extensive validation against synthetic datasets and experimental benchmarks, establishing its robustness for predictive simulations and parameter identification in unsaturated porous media.

In the fourth part, the sequential PINN framework is extended with transfer learning to address the complexity of multispecies solute transport in unsaturated soils. The parameters learned during the training of the Richards equation are used to initialize the solute transport PINNs, exploiting structural similarities between the governing PDEs, both of which involve advection–diffusion-type operators. This strategy accelerates convergence, enhances training stability, and improves predictive accuracy compared to randomly initialized models, as demonstrated in forward and inverse simulations across one- and two-dimensional soil configurations.

In the fifth part, the sequential PINN paradigm is generalized to arbitrary one-way coupled systems, where each equation depends on the outputs of preceding ones in a fixed causal order. New training schemes are introduced to exploit these directional dependencies, mitigating convergence issues that arise when equations are trained simultaneously. The framework shows clear advantages over standard PINNs, achieving good accuracy and efficiency in modeling the coupled dynamics of water flow and multispecies solute transport in porous media.

In the sixth part, the challenging problem of unstable infiltration in unsaturated soils is addressed by numerically solving the fourth-order BCJ–R equation. It was found that the PINN model for the Richards equation is not suitable for this case; therefore, a new solver is developed with tailored training strategies and modified neural architectures to manage the multiscale behavior and stiffness inherent to the BCJ–R equation. The resulting PINN model accurately reproduces key features such as saturation overshoot, shows good agreement with experimental data, and remains consistent with thermodynamic principles, as verified through entropy dissipation analysis in closed systems.

Finally, the last part of this thesis investigates multitask learning for infiltration in unsaturated flow through the development of a fast and accurate surrogate model. A deep neural operator is introduced and trained in a meshless, data-free, and physicsinformed setting to learn the mapping from varying initial and boundary conditions to the corresponding soil moisture distributions. To enhance extrapolation capability, a fine-tuning stage is incorporated using either physical constraints or available soil moisture data. The model is validated against the high-fidelity finite element solver, achieving comparable accuracy at a fraction of the computational cost during inference. This framework establishes the neural operator as an efficient and reliable real-time surrogate for optimizing irrigation strategies.

Résumé traduit

Cette thèse traite de la modélisation directe et inverse de l’infiltration d’eau et du transport de solutés dans les milieux poreux par le développement de modèles numériques computationnels efficaces, contraints par la physique. Pour la description mathématique de l’infiltration d’eau, deux formulations sont considérées : l’équation de Richards standard, qui prédit des fronts d’humectation stables et monotones, et l’équation étendue BCJ–R, qui rend compte des phénomènes d’infiltration instable tels que le dépassement de saturation et les écoulements préférentiels à doigts gravitaires. Pour modéliser le transport de solutés, les modèles d’infiltration sont couplés à des équations d’advection–dispersion–réaction qui capturent la dynamique du transport de solutés mono- et multi-espèces. Le cadre de transport intègre des processus biogéochimiques, notamment la dégradation d’ordre un des composés azotés par nitrification et dénitrification, l’adsorption réversible des solutés sur les particules du sol, ainsi que des voies de transformation telles que la volatilisation, la minéralisation et la dégradation microbienne.

Dans la première partie de cette thèse, un modèle numérique basé sur une méthode des éléments finis mixtes semi-implicite d’ordre deux est développé pour simuler l’écoulement de l’eau et le transport de solutés dans les milieux poreux non saturés. L’infiltration de l’eau est considérée dans un régime de front stable à l’aide de l’équation de Richards, couplée à un système d’advection–dispersion–réaction pour représenter le transport des engrais. Le modèle numérique développé évite le recours à des solveurs itératifs non linéaires pour l’équation de Richards, ce qui permet de limiter les problèmes de convergence liés aux modèles capillaires du sol fortement non linéaires. Des expériences numériques sont menées pour résoudre le système couplé dans divers scénarios, incluant le transport mono- et multi-espèces de l’azote, la conductivité électrique de l’eau interstitielle et la migration des nitrates. La validation par comparaison avec des solutions analytiques, des codes numériques établis et des données expérimentales confirme la précision du modèle dans la reproduction des dynamiques d’infiltration de l’eau et des processus de transport des solutés. Ce solveur haute fidélité sert à la fois de référence et de source de données pour les modèles d’apprentissage automatique informés par la physique développés dans les chapitres suivants.

Dans la deuxième partie, un réseau de neurones informé par la physique (PINN) est construit pour modéliser la dynamique couplée de l’écoulement de l’eau et du transport de solutés. La méthode intègre directement les équations gouvernantes dans le processus d’apprentissage et ne requiert que les conditions initiales et aux limites. Ses performances sont évaluées par comparaison avec le solveur aux éléments finis haute fidélité présenté précédemment, montrant un accord étroit et confirmant le potentiel des PINNs pour la modélisation directe du transport eau–solutés dans les milieux poreux.

Dans la troisième partie, l’objectif est d’identifier la stratégie PINN la plus efficace pour la modélisation de l’infiltration de l’eau et du transport des solutés mono- et multispecies dans les milieux poreux. Une étude comparative approfondie de différentes formulations de PINN est menée, évaluant leurs performances à la fois dans les simulations directes des processus couplés écoulement–transport et dans les problèmes inverses visant l’estimation de paramètres inconnus. Parmi les approches examinées, la stratégie séquentielle PINN, dans laquelle les équations gouvernantes de l’écoulement et du transport sont entraînées séparément, s’avère la plus efficace. Sa supériorité est démontrée par une validation approfondie sur des jeux de données synthétiques et des bancs d’essai expérimentaux, confirmant sa robustesse pour les simulations prédictives et l’identification de paramètres en milieux poreux non saturés.

Dans la quatrième partie, le cadre séquentiel PINN est enrichi par l’apprentissage par transfert afin de traiter la complexité du transport multispecies dans les sols non saturés. Les paramètres appris lors de l’entraînement de l’équation de Richards sont utilisés pour initialiser les PINN de transport des solutés, en exploitant les similarités structurelles entre les équations gouvernantes, qui comportent toutes deux des opérateurs de type advection–diffusion. Cette stratégie accélère la convergence, améliore la stabilité de l’entraînement et accroît la précision prédictive par rapport aux modèles initialisés aléatoirement, comme démontré dans les simulations directes et inverses en une et deux dimensions.

Dans la cinquième partie, le paradigme PINN séquentiel est généralisé à des systèmes couplés unidirectionnels arbitraires, où chaque équation dépend des sorties des équations précédentes dans un ordre causal fixé. De nouveaux schémas d’entraînement sont introduits pour exploiter ces dépendances directionnelles, atténuant les problèmes de convergence rencontrés lorsque les équations sont entraînées simultanément. Le cadre présente des avantages clairs par rapport aux PINN standards, atteignant une bonne précision et efficacité pour la modélisation des dynamiques couplées écoulement– transport multispecies dans les milieux poreux.

Dans la sixième partie, le problème difficile de l’infiltration instable dans les sols non saturés est abordé en résolvant numériquement l’équation de BCJ–R d’ordre quatre. Il a été constaté que le modèle PINN conçu pour l’équation de Richards n’est pas adapté à ce cas ; par conséquent, un nouveau solveur est développé, intégrant des stratégies d’entraînement adaptées et des architectures neuronales modifiées, afin de gérer la nature multiscalaire et la raideur propres à l’équation de BCJ–R. Le modèle obtenu reproduit avec précision des phénomènes clés tels que le dépassement de saturation, montre un bon accord avec les données expérimentales et reste cohérent avec les principes thermodynamiques, comme vérifié par une analyse de dissipation d’entropie en systèmes fermés.

Enfin, la dernière partie de cette thèse étudie l’apprentissage multitâche pour l’infiltration en régime non saturé à travers le développement d’un modèle de substitution rapide et précis. Un opérateur neuronal profond est proposé et entraîné dans un cadre sans maillage, sans données et informé par la physique, afin d’apprendre la relation entre des conditions initiales et aux limites variables et les distributions correspondantes d’humidité du sol. Pour améliorer la capacité d’extrapolation, une étape d’ajustement fin est intégrée en utilisant soit des contraintes physiques, soit des données disponibles d’humidité du sol. Le modèle est validé par comparaison avec le solveur aux éléments finis haute fidélité, atteignant une précision comparable tout en réduisant considérablement le coût de calcul en phase d’inférence. Ce cadre établit l’opérateur neuronal comme un substitut efficace et fiable en temps réel pour l’optimisation des stratégies d’irrigation.

Type de document:	Mémoire ou thèse (Thèse de doctorat électronique)
Renseignements supplémentaires:	"Thesis submitted for the Degree of Doctor of Philosophy. Specialty Applied Mathematics - UM6P. Engineering - ÉTS". Comprend des références bibliographiques (pages 263-289).
Directeur de mémoire/thèse:	Directeur(-trice) Beljadid, Abdelaziz
Codirecteur:	Codirecteur(-trice) de mémoire/thèse Soulaïmani, Azzeddine
Programme:	Doctorat en génie > Génie
Date de dépôt:	12 août 2026 19:07
Dernière modification:	12 août 2026 19:07
URI:	https://espace.etsmtl.ca/id/eprint/4063

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